耐久数続き

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さっきの耐久数の続き

26888999でググってみた。

素数と合成数等に関する話題
なんか知らない言語だな、と思ったら APLだった!。びっくり。
耐久性の値ごとの頻度分布を求めていたりして面白い。自分はAPLが読めないので残念。あとで解読したい。ちなみに耐久性は英語でpersistenceといらしい。感謝。


耐久数を持続係数という流儀もあるらしい。
【問題80】「持続係数」とは
ここによると、

持続係数が6である最小数は6,788だそうです。
持続係数が7である最小数は68,889だそうです。
持続係数が8である最小数は2,677,889だそうです。
持続係数が9である最小数は26,888,999だそうです。
持続係数が10である最小数は3,778,888,999だそうです。
持続係数が11である最小数は277,777,788,888,899だそうです。
ガードナー数学マジック「超能力と確率」超能力と確率 (ガードナー数学マジック)より

とのこと。この本か?
超能力と確率 (ガードナー数学マジック)超能力と確率 (ガードナー数学マジック)
(1996/05)
マーチン ガードナー

詳細



『各位の数の積』解答
によると

例によって、On-Line Encyclopedia of Integer Sequences で検索してみました。
今回の問題と同値ではないですが、
Smallest number of persistence n over product-of-nonzero-digits function

上記の表題で数列がありました。
何度か改訂があったことが予想されます。
最新のものは以下の通りです。

0 0
1 10
2 25
3 39
4 77
5 679
6 6788
7 68889
8 2677889
9 26888999
10 3778888999
11 2677777778899
12 77777777788888888888899999

13番目まで記載がありました。
一般式がないところをみると、未解決の問題のようです。

ああそうか、On-Line Encyclopedia of Integer Sequencesを見るという手があるな。
A014120 Smallest number of persistence n over product-of-nonzero-digits function.
最新情報によると

0 0
1 10
2 25
3 39
4 77
5 679
6 6788
7 68889
8 2677889
9 26888999
10 3778888999
11 267777777889999
12 77777777788888888888899999
13 37777777777777777777777777778888889999999999999999999

らしい。あと似たようなのいくつか:
A003001 Smallest number of persistence n.
A046149 Smallest n-digit number with maximal multiplicative persistence A014553.
こりゃ総当りできる範囲を明らかに越えている。どんな工夫してんだろ。

リンク先見て吹いたw
また更新されている。鬼だ
# b014120.txt - Table of n, a(n) for n=0..14 - Ray Chandler (rayjchandler(AT)sbcglobal.net), Mar 18 2009

0 0
1 10
2 25
3 39
4 77
5 679
6 6788
7 68889
8 2677889
9 26888999
10 3778888999
11 267777777889999
12 77777777788888888888899999
13 37777777777777777777777777778888889999999999999999999
14 55555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555577777777777777777779999999999999999999999999999999999999

下位の桁は9が並びそうだけど、上位桁はよく分からんな。てかこれ最小性は本当に証明できているのか?




c_sharpの日記さんのところの
2009年04月19日(日)に耐久数っぽい話が。



MathWorldに記事発見:
Multiplicative Persistence
参考文献あった。引用する:

REFERENCES:

Beeler, M. Item 56 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, p. 22, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/number.html#item56.

Carmody, P. "OEIS A003001, and a 'Zero-Length Message'." 23 Jul 2001. http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0107&L=NMBRTHRY&P=R1036&I=-3.

Gardner, M. Fractal Music, Hypercards, and More Mathematical Recreations from Scientific American Magazine. New York: W. H. Freeman, pp. 170 and 186, 1992.

Gottlieb, A. J. Problems 28-29 in "Bridge, Group Theory, and a Jigsaw Puzzle." Techn. Rev. 72, unpaginated, Dec. 1969.

Gottlieb, A. J. Problem 29 in "Integral Solutions, Ladders, and Pentagons." Techn. Rev. 72, unpaginated, Apr. 1970.

Guy, R. K. "The Persistence of a Number." §F25 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 262-263, 1994.

Pickover, C. A. "Persistence." Ch. 28 in Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford, England: Oxford University Press, 2001.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 022-Primes & Persistence." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_022.htm.

Schneider, W. "The Persistence of a Number." http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/persistence.html.

Sloane, N. J. A. "The Persistence of a Number." J. Recr. Math. 6, 97-98, 1973.

Sloane, N. J. A. Sequences A003001/M4687, A014553, A031346, and A046500 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 78, 1986.



いまさらながらWikipediaから
Persistence of a number


ArXivにあった!と思ってみてみたら、題名でびっくりw
Eight Hateful Sequences
http://arxiv.org/abs/0805.2128
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0805/0805.2128v1.pdf
参考文献を引用:

References
[1] D. L. Applegate, R. E. Bixby, V. Chvatal and W. J. Cook, The Traveling Salesman Problem: A
Computational Study, Princeton Univ. Press, 2007.
[2] D. L. Applegate and N. J. A. Sloane, ´ Eric Angelini’s “1995” puzzle sequence, Preprint, 2008.
[3] J. Beardwood, J. H. Halton and J. M. Hammersley, The shortest path through many points, Proc.
Cambridge Philos. Soc., 55 (1959), 299–327.
[4] F. J. van der Bult, D. C. Gijswijt, J. P. Lindeman, N. J. A. Sloane and A. R. Wilks, A slowgrowing
sequence defined by an unusual recurrence, J. Integer Sequences, 10 (2007), #07.1.2
[arXiv:math.NT/0602498].
[5] J. H. Conway and N. J. A. Sloane, Powertrains and other sequences, Preprint, 2008.
[6] S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge Univ. Press, 2003.
[7] D. S. Johnson, Comparability, talk given at Workshop on Experimental Analysis of Algorithms:
Interfaces between the Statistical and Computational Sciences, Research Triangle Park, NC, March
6–7, 2008.
[8] J. C. Lagarias, An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, Amer. Math.
Monthly, 109 (2002), 534–543 [arXiv:math.NT/0008177].
[9] J. C. Lagarias, E. M. Rains and N. J. A. Sloane, The EKG sequence, Experimental Math., 11
(2002), 437–446 [arXiv:math.NT/0204011]
[10] G. Robin, Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypoth`ese de Riemann, J. Math.
Pures Appl., 63 (1984), 187–213.
[11] N. J. A. Sloane, The persistence of a number, J. Recreational Math., 6 (No. 2, 1973), 97–98.
[12] N. J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, published electronically at
www.research.att.com/∼njas/sequences/, 1996–2008.
[13] N. J. A. Sloane, Seven staggering sequences, in Proceedings Seventh Gathering for Gardner, 2008.






GoogleBooksからも発掘
Unsolved problems in number theory 著者: Richard K. Guy
Unsolved Problems in Number Theory (Problem Books in Mathematics / Unsolved Problems in Intuitive Mathematics)



Elementary number theory in nine chapters 著者: James Joseph Tattersall
Elementary Number Theory in Nine ChaptersElementary Number Theory in Nine Chapters

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